Em
juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante (F) obtido pela aplicação de um único
valor principal P no instante t = 0,
á taxa i de juros (por período)
durante n períodos.
a- Cálculo do montante
(F)
A
fórmula para cálculo do Montante (F), é dada por:
A
expressão apresentada acima, mostra que no regime de capitalização composta, o
montante cresce exponencialmente ao longo do tempo.
Exemplos de aplicação
1
- Qual o
valor futuro de um capital de $ 16.000, aplicado por 2 anos e 8 meses, à taxa
de 0,5% a.m?
Solução:
F =?
i = 0,5 %
a.m.= 0,005
n = 2
anos e 8 meses = 32 meses
P =
16.000
F = P ( 1 + i )n
F = 16000(1+0,005)32
F = 16000(1,005)32
F = $ 18.768,69
2
– Ao
comprar seu carro, Luiz financiou R$ 18.000,00 a serem pagos com taxa de 2,25%
a.m. em 36 meses em regime de juros compostos. Sabendo-se que ele deu R$
3.900,00 de entrada, o valor aproximado que Luiz pagou pelo seu carro foi?
Objetivo:
valor pago pelo carro = F + 3.900
Solução:
F =?
i = 2,25
% a.m.= 0,0225
n = 36
meses
P = 18.000
F = P ( 1 + i )n
F = 18000(1+0,0225)36
F = 18000(1,0225)36
F = $ 40.100,69
Logo:
VPC = F + 3.900 = 40.100,69 + 3.900 = 44.000,69.
Portanto,
o valor aproximado que Luiz pagou pelo seu carro foi de R$ 44.000,00
3
– O
capital de $ 5.000 esteve aplicado durante 2 meses e quinze dias a juros
compostos de 2% a.m.. Calcular o montante.
Solução:
F =?
i = 2%
a.m.= 0,02
n = 2
meses e 15 dias = 75 dias = 75/30 = 2,5 meses
P = 5.000
F = P ( 1 + i )n
F = 5000(1+0,02)2,5
F = 5000(1,02)2,5
F = $ 5.253,76
Observação:
Em juros compostos devemos transformar o período n na mesma unidade de tempo da
taxa i, ou seja, a unidade de tempo da taxa não se deve alterar e sim o
período.
Variações da fórmula
cálculo do principal (p)
cálculo da taxa (i)
cálculo do período (n)
Exemplos de aplicação
1
– Qual o
capital que deve ser aplicado para obter $ 61.180,46 em 2 anos e 8 meses, à
taxa de 15% a.q.?
Solução:
F =61.180,46
i = 15% a.q.= 0,15
n = 2 anos e 8 meses = 32
meses = 32/4 = 8 quadrimestres
P = ?
2 – Qual a
taxa de juros mensal correspondente a um capital de $ 10.000, para obter $
55.599,17 em 1 ano e meio?
3 – Por quantos
meses devo aplicar o
capital de $ 12.000, a taxa de 20% a.m, para receber $ 51.597,80?
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 - Determine
os juros e o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00, no regime de
capitalização composta, nos seguintes casos:
a) à taxa de 22% ao ano, após dois anos; Resposta: R$ 4.884,00 e R$ 14.884,00.
b) à
taxa de 30% ao ano, após 18 meses; Resposta: R$ 4.822,28 e R$ 14.822,28.
c) à taxa de 15% ao mês, após 45 dias; Resposta: R$ 2.332,38 e R$ 12.332,38.
d) à
taxa de 2,5% ao mês, após 5 meses; Resposta: R$ 1.314,08 e R$ 11.314,08.
2
– Quais os juros que serão pagos por um empréstimo de $ 18.000 à taxa de 6%
a.m, por um período de 2 anos? R.: J = $54.880,823
3 - Determinar o montante que um
investimento de R$ 80.000,00 produzirá em dois semestres, à taxa de 15% ao
trimestre, no regime de capitalização composta. Resposta : R$ 139.920,50
4 - Quantos períodos serão necessários
para triplicar um capital, a juros compostos, à taxa de 10% ao período?
Resposta: 11,53.
5 - Qual a taxa mensal de juros compostos
que transforma um capital de R$ 30.000,00 em R$ 212.537,21 em dois anos?
Resposta: 8,5% a.m.
6 - O capital de R$ 100.000,00 colocado a
juros compostos, capitalizados mensalmente durante 8 meses, elevou-se, no final
desse prazo, a R$ 156.994,83. Calcular a taxa de juros aplicada. Resposta: 5,8%
a.m.
7 - Determinar o prazo necessário para que
uma aplicação no valor de R$ 20.000,00 se transforme em R$ 35.246,83, à taxa de
12% ao mês, no regime de juros compostos. Resposta: 5 meses.
8- Ricardo fez uma aplicação de R$
15.000,00 por 15 meses à taxa de 45% a.a., no regime de juros compostos.
Determine o montante recebido. Resposta: R$ 23.867,19 pela convenção
exponencial.
9 - Você vai adquirir dois títulos, o
primeiro tem valor de resgate de R$ 50.000,00 e prazo de resgate 6 meses; o
segundo tem valor de resgate de R$ 30.000,00 e prazo de resgate de 9 meses.
Qual o valor da aplicação, se a instituição financeira está oferecendo uma taxa
de 6% ao mês, no regime de juros compostos? Resposta: R$ 53.004,98 Dica: Pt = P1 +P2
10 - Sabendo que um capital inicial, em
regime de juro composto, à taxa de 2,5%a.m., durante 4 meses, rendeu um
montante de R$ 79.475,00, calcule o capital inicial. Resposta: R$ 72.000,00
11 - Uma loja financia um bem de consumo
durável, no valor de R$ 3.200,00, sem entrada, para pagamento em uma única
prestação de R$ 4.049 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela
loja?
12 - O capital de $ 8.700,00, colocado a
juros compostos à taxa de 3,5%a.m., elevou-se no fim de certo tempo a $ 11.456.
Calcule este tempo.
13 - Calcule o tempo que deve deixar
aplicado um capital de R$ 2.980,00 para que possa resgatar R$ 3.198,38, sabendo
que a taxa pela qual o capital será remunerado é 1,5%am.
14 - (ESPP 2012). Um
investidor vai aplicar um total de R$ 2.000,00 em dois bancos. No primeiro, a
uma taxa de 5% ao mês e, no segundo, a uma taxa de 3% ao mês. As duas
aplicações são em regime de juros compostos e o prazo é o mesmo (1 mês). Se o
investidor resgatou o mesmo valor nas duas aplicações, então assinale a
alternativa que indica respectivamente, os valores aproximados de investimento
em cada banco: Sabe-se que
a)R$ 900,00 e R$ 1.100,00
b)R$ 880,00 e R$ 1.120,00
c)R$ 950,00 e R$ 1.050,00
d)R$ 990,00 e R$ 1.010,00
e)R$ 800,00 e R$ 1.200,00
15 - Qual o tempo necessário para que um
capital, aplicado a uma taxa efetiva de 3% a.m., duplique seu valor? Resposta:
23,45 meses
16 - Preciso aplicar R$ 100.000,00 por um
período de quantos meses, a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., para que ao
final da aplicação eu obtenha o dobro deste capital?
Resposta: 41,12 meses
17 - Certo capital foi colocado a juros
compostos de 6% a.s., durante dois anos. Sabendo que rendeu R$ 2.600,00 de
juros, qual o montante obtido? Consideremos
(1,06)4 = 1,26
Resposta: R$ 12.600,00
