A álgebra nas profissões

3º DIA

A álgebra na carpintaria

Será que a álgebra tem vez em uma simples carpintaria?
Tem sim. Existem problemas que o marceneiro pode resolver de forma muito eficiente com auxílio da álgebra. Vamos ver um deles.

EXEMPLO 3

O corte está no lugar certo?
Certo dia, um marceneiro recebeu a seguinte tarefa: cortar os cantos de uma mesa quadrada, que tinha 120 cm de lado, para transformÆ-la em uma outra com 8 lados iguais.
Observe, nas figuras abaixo, o problema do marceneiro.

Repare que o problema de transformar a mesa quadrada em outra, com 8 lados iguais, não é um problema fácil.  Os cortes precisam ser feitos em lugares certos.  Se não, o marceneiro corre o risco de estragar a mesa. Como fazer, então,os cortes perfeitos?

Acompanhe o raciocínio do marceneiro e, mais uma vez, a utilidade da álgebra.

As partes que serão eliminadas da mesa quadrada são triângulos retângulos com dois lados iguais. Eles se chamam catetos. O lado maior, onde será feito o corte, chama-se hipotenusa

Para observar direito esse triângulo, ele fez um desenho grande de um triângulo desse tipo, com catetos de 1 m de comprimento, e mediu a hipotenusa.

O valor que ele encontrou para a hipotenusa foi 1 metro e 41 centímetros (este valor não é exato, porém é bem aproximado).
O marceneiro sabia que, para aumentar ou diminuir o tamanho de uma figura, mantendo sua forma, basta multiplicar  todos os comprimentos dessa figura por um mesmo número. Por exemplo, um triângulo 10 vezes maior que o da figura que o marceneiro fez terá lados de 10 m, 10 m e 14,1 m.
Ele, então, raciocinou corretamente colocando a letra x como a medida dos catetos dos triângulos que serão retirados. Assim, a medida da hipotenusa desses triângulos será 1,41x.
Veja como ficou o projeto da nova mesa.

Na mesa de 8 lados, todos eles devem ser iguais. Portanto, a medida de cada um deles será 1,41x.
Agora, basta somar os comprimentos sobre um lado do quadrado antigo.

x  +  1,41x  +  x   =   120 

Agora, vamos envolver essa equação.

2x   +  1,41x  = 120

           3,41x  = 120

           3,41x = 120
              3,41      3,41   

                    x = 35,19

Concluímos, então, que cada cateto dos triângulos que serão retirados mede, aproximadamente, 35,2 cm. O problema está resolvido. A partir de cada canto da mesa, o marceneiro vai medir comprimentos de 35,2 cm, e passar a serra nas hipotenusas dos triângulos formados.
A mesa ficará com 8 lados iguais. E qual será a medida de cada lado da nova mesa?

Cada lado da nova mesa mede 1,41x, ou seja, 1,41 · 35,2, o que dá 49,6 cm.
Quase 50 cm de lado.

Como você percebeu, a álgebra foi utilizada para resolver problemas muito diferentes. Mas não se esqueça: ela é apenas uma ferramenta. O mais importante é sempre o raciocínio. 

A habilidade de resolver problemas se desenvolve aos poucos. Com a prática. Com persistência.

A álgebra nas profissões

2º DIA
A álgebra em uma pequena empresa

Mesmo em pequenas empresas surgem freqüentemente problemas relacionados com a produção, com os custos, com os investimentos, com a divisão dos lucros etc.  Vamos mostrar um deles e sua solução, com o auxílio da álgebra.

EXEMPLO 2

Como fazer uma divisão proporcional?

Em uma confecção trabalham 16 costureiras, 2 supervisoras e 1 diretora.Cada supervisora ganha 25% a mais que uma costureira, e a diretora ganha 50%a mais que uma costureira. Todos os meses, uma pequena parte do faturamento é colocada numa poupança para ser distribuída no fim do ano. É a “caixinha doNatal”. Pois bem, no fim do ano, essa poupança tinha R$ 1.440,00. Como deveremos fazer a distribuição dessa caixinha mantendo-se a mesma proporção dos salários?

Temos aqui uma excelente oportunidade para usarmos a álgebra. Como já vimos nas aulas anteriores, é preciso escolher o significado da nossa incógnita.

Vamos então representar com a letra x a quantia que cada costureira deverá receber.
Cada supervisora ganha 25% a mais que uma costureira. Portanto, cada uma receberá:

x  +  25 %  de  x  =   x  +  25   ·   x
                                 100
= x  +  0,25   ·   x                             
=  (1  +  0,25)  x                               
= 1,25 x                                            

A diretora ganha 50 % a mais que uma costureira. Portanto, ela receberá:

x  +  50 %  de  x  =  x  + 50   ·  x 

                                  100
 = x  +  0,5 · x                                   
= (1  +  0,5)  x                                 
= 1,5 x                                             

Veja, então, o resumo no quadro abaixo.

16 costureiras = 16 · x
02 supervisoras = 1,25 · x
       01 diretora = 1,5 · x 

Vamos somar tudo e igualar o resultado ao total da poupança:

16 · x  +  2 · 1,25 · x  + 1,5x  = 1440

Para encontrar o valor de x basta, então, resolver essa equação. Observe:

16x + 2,5x  + 1,5x  = 1440
                               (16 + 2,5 +1,5) x  =  1440 (x em evidência)
                       20x  = 1440

                                                             x = 1440   (dividindo por 20) 

                        20     20
                        x = 72

Portanto, cada costureira deverá receber R$ 72,00. O resto é fácil.

1,25 · x = 1,25 · 72 = 90
1, 5 · x = 1,5 · 72 = 108 

Assim, cada supervisora deverá receber R$ 90,00 e a diretora, R$ 108,00. Foi feita então a divisão proporcional da caixinha do Natal.

A álgebra nas profissões

Esta é uma aula destinada a alguns exemplos de aplicação da álgebra nas profissões, iremos aqui dividir esta aula em 4 partes: a álgebra na medicina, a álgebra em uma pequena empresa, a álgebra na carpintaria e exercícios). Cada parte será publicada em um dia. 

1º dia

Introdução

Nesta aula, você vai perceber que, em diversas profissões e atividades, surgem problemas que podem ser resolvidos com o auxílio da álgebra. Alguns problemas são tão freqüentes que existem fórmulas prontas para sua rápida resolução. Outros, por não serem tão freqüentes, vão necessitar de maior raciocínio e criatividade. Mas, em todos eles, você poderá perceber a força dessa nova ferramenta que é a álgebra.

A álgebra na medicina

Na medicina, os médicos utilizam muitas fórmulas matemáticas. Principalmente para calcular as quantidades certas de remédios que devem ser dados aos doentes e para outros cálculos. São fórmulas que não podemos entender porque não somos médicos. Mas existem algumas que são simples e úteis para todos, como esta que vamos mostrar agora.

EXEMPLO 1

Como calcular a altura de uma criança?

A altura de uma criança depende de sua idade e de muitos outros fatores.Entretanto, os médicos examinaram uma quantidade muito grande de crianças brasileiras e tiraram uma média (no exercício 1 vamos lembrar o que é isso).  Essa pesquisa deu origem a uma fórmula que você mesmo pode usar para verificar o desenvolvimento dos seus filhos. A fórmula - que vale para crianças de 4 a 13anos - é a seguinte:

y =  5,7 · x + 81,5 

Nessa fórmula:

•  x é a idade da criança (em anos)

•  y é a altura da criança (em centímetros)

Por exemplo, se uma criança tem 5 anos podemos calcular sua altura, substituindo o x da fórmula por 5.

Veja:

y = 5,7 ·  5 + 81,5
y = 28,5 + 81,5    
y = 110 cm           

O resultado indica que, em geral, as crianças de 5 anos devem estar medindo por volta de 110 cm de altura. Em geral, como o desenvolvimento da criança depende de outros fatores, como a altura dos pais, a alimentação etc., são consideradas crianças normais as que tiverem altura até 10 cm a mais ou a menos que o valor dado pela fórmula.

Para você saber mais

Cada criança tem seu jeito de crescer.  Em geral, as meninas crescem de forma muito próxima aos valores dados pela fórmula. Já os meninos crescem um pouco menos dos 10 aos 12 anos e passam a crescer mais depois dos 12 anos. Com a fórmula que apresentamos, você pode fazer previsões. Suponha que uma menina tenha 115 cm de altura aos 5 anos.  Essa criança tem, portanto, 5 cm a mais que o valor dado pela fórmula. Se tudo correr normalmente, essa diferença deve se manter (ou até aumentar um pouco) ao longo dos anos. Assim, se você quiser saber que altura ela terá aos 10 anos, aplique a fórmula e acrescente esses 5 centímetros.