1 Introdução:
O estudo e o desenvolvimento da Matemática financeira estão vinculados ao sistema econômico. O mundo, hoje, está de alguma forma ligado à economia de mercado, de modo que é importante termos noções sobre esse estudo matemático para melhor compreender os mecanismos das operações financeiras.
Problemas do dia-a-dia como cálculo de prestações, pagamento de contas de luz, água, telefone, saber se é mais vantajoso pagar uma dívida à vista, resgatando a aplicação da poupança, ou continuar pagando as prestações e deixar o dinheiro aplicado são dúvidas que a Matemática Financeira nos ajuda a resolver.
1.1 Porcentagem
Quando escrevemos 15% - lemos: quinze por cento - estamos usando uma outra forma para representar a razão 15/100, também chamada de razão centesimal.
Por cento é uma expressão representada pelo símbolo %, que significa centésimos.
Logo, 15% = 15/100 = 0,15.
Exemplo de aplicação:
1 - Quanto é 30% de 200?
Resolução:
30% = 30/100 = 0,3
logo: 0,3 x 200 = 60
Logo, 30% de 200 = 60
obs.: Fazendo mentalmente você pode calcular: 30 x 200 = 6000/100 = 60
2 - Um comerciante pagou 20% de uma divida. Sabendo-se que R$ 5.040,00 corresponde a 35% do restante a ser pago, calcule o valor da divida total inicial.
Resolução:
30% = 30/100 = 0,3
logo: 0,3 x 200 = 60
Logo, 30% de 200 = 60
obs.: Fazendo mentalmente você pode calcular: 30 x 200 = 6000/100 = 60
2 - Um comerciante pagou 20% de uma divida. Sabendo-se que R$ 5.040,00 corresponde a 35% do restante a ser pago, calcule o valor da divida total inicial.
Resolução:
Cálculo do restante a ser pago: 5.040 ____ 35%
x ____ 100%
x = 5040 . 100 / 35 = R$ 14400,00 (quantia correspondente a 100% - 20% = 80% da divida)
Cálculo da divida total inicial: 14400 _____80%
y _____100%
y = 14400 . 100 / 80 = R$ 18000,00
Resposta: A dívida total inicial é de R$ 18000,00
2 Juros Simples:
Quando uma pessoa deseja comprar um objeto e não dispõe de dinheiro suficiente para o pagamento à vista, ela pode recorrer a um empréstimo bancário ou realizar a compra a prazo. Nesse caso, ela paga uma compensação em dinheiro pelo tempo correspondente ao número de prestações.
Essa compensação, acrescida do valor inicial do objeto, denomina-se juro e refere-se a um percentual do valor do empréstimo ou da compra.
Neste caso podemos utilizar a fórmula de juros simples que é:
J = P x i ou J = P x i x n
onde:
J - é o juros que se quer calcular (é a renda obtida)
P - é o principal ou capital (valor inicial do objeto)
i - é a taxa percentual (porcentagem paga ou recebida)
n - é o período em que o capital foi empregado.
obs.: É importante observar se o tempo de aplicação e a taxa estão na mesma unidade de medida. Caso isso não aconteça, deve-se transformar uma delas. Geralmente, converte-se tudo para a menor delas.
J - é o juros que se quer calcular (é a renda obtida)
P - é o principal ou capital (valor inicial do objeto)
i - é a taxa percentual (porcentagem paga ou recebida)
n - é o período em que o capital foi empregado.
obs.: É importante observar se o tempo de aplicação e a taxa estão na mesma unidade de medida. Caso isso não aconteça, deve-se transformar uma delas. Geralmente, converte-se tudo para a menor delas.
Exemplo de aplicação:
1- Quais foram os juros obtidos pelo capital de R$ 12.000,00 durante 2 anos, a uma taxa de 4% ao ano?
J = ?
P = 12.000
i = 4% a.a
n = 2
J = 12.000 x 0,04 x 2 = 960 reais
2 - Quanto foi obtido de juros pelo capital de R$ 50.000,00 durante 1 ano, a uma taxa de juros de 3% ao mês?
J = ?
P = 50.000
i = 3% a.m
n = 1 ano = 12 meses
J = 50.000 x 0,03 x 12 = 18.000 reais
Montante simples
Montante (M) é a soma do principal mais o juro. O montante também é conhecido como Valor Futuro.
M = (P + J) = P(1 + in)
Exemplo de aplicação:
Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?
Objetivo: M = 2P
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = P(1 + in)
2P = P (1 + 1,5 n)
2 = 1 + 1,5 n
2-1 = 1,5n
1 = 1,5n
n = 1/1,5
n = 0,666 dia
Logo n = 0,666 * 12 = 8 meses
Agora é com você
1 - Daniel investiu seu capital em um banco que paga juros de 25% ao ano. Após 3 anos, ele recebeu de volta um montante de R$ 420.000,00. Qual foi o capital aplicado por Daniel?
2 - Planejo emprestar R$ 18.000,00 por um período de 18 meses ao final do qual pretendo receber de volta um total de R$ 26.866,57. Qual deve ser o percentual da taxa de juro simples para que eu venha a conseguir este montante?
3 - Uma aplicação de R$ 400.000,00, pelo prazo de 180 dias, obteve o rendimento de R$ 60.000,00. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?
4 - Calcule o juro simples do capital de R$ 36.000,00, colocado à taxa de 30% ao ano, de 2 de janeiro de
5 - Uma TV em cores tela plana é vendida nas seguintes condições: R$
6 - Determine os juros simples de uma aplicação de R$ 8.500,00 à taxa de 3 % ao
mês, durante 5 meses. Resposta: R$ 1.275,00.
veja a correção no vídeo abaixo:Fluxo de caixa
Fluxo de caixa é um gráfico contendo informações sobre Entradas e Saídas de capital, realizadas em determinados períodos. O fluxo de caixa pode ser apresentado na forma de uma linha horizontal ( linha de tempo) com os valores indicados nos respectivos tempos ou na forma de uma tabela com estas mesmas indicações.
A entrada de dinheiro para um caixa em um sistema bancário poderá ser indicada por uma seta para baixo enquanto que o indivíduo que pagou a conta deverá colocar uma seta para cima. A inversão das setas é uma coisa comum e pode ser realizada sem problema.
A representação gráfica do fluxo de caixa pode ser feita da seguinte maneira:
Consideremos uma situação em que foi feito um depósito inicial em uma conta que rende juros compostos mensalmente e que se continuar a depositar mensalmente valores durante os 5 meses seguintes. No 6º mês quer-se conhecer o valor futuro da reunião destes depósitos.
Para obter o valor futuro deste capital depositado em vários meses, usamos o fluxo de caixa e conceitos matemáticos para calcular o valor resultante ou montante acumulado.
3 Juros Compostos:
È o método de cálculo em que os juros são calculados incorporando-se ao principal o valor dos juros ganhos no período anterior. São muito usados no comércio, como por exemplo, nos bancos. Os juros compostos são utilizados nas cadernetas de poupança por oferecer uma melhor remuneração. Popularmente o juro composto é conhecido como "juros sobre juros".
Calculando juros compostos:
VF = VP x (1 + i ) ^ n
Onde:
VF - Valor Futuro é o valor resultante depois de determinado tempo de aplicação. Também conhecido como Montante (M).
VP - Valor Presente é o valor do principal no momento inicial da aplicação. Também conhecido como capital (C).
i - Taxa de juros.
n - Número de períodos pelos quais o valor principal ficará aplicado. Também conhecido como tempo de aplicação (t).
Exemplo de aplicação:
1 - Imagine que você vai investir R$ 1.000,00 numa aplicação que rende 1% ao mês, só que vai deixar o dinheiro aplicado por dois anos. Quanto dinheiro terá ao final desse período?
VP = 1.000,00
i = 1% ao mês
n = 24 meses
VF = ?
VF = 1.000 x (1 + 0,01)^24
VF = 1.000 x (1,01)^24
VF = 1.000 x 1,27
VF = 1.269,73
Resposta: Ao final desse período eu teria R$ 1.269,73.
2 - Edwiges depositou R$ 5 mil numa aplicação, que rende 1% ao mês, e pretende poupar o dinheiro durante 20 anos, quanto terá Edwiges ao final desse período?
VP = 5.000
i = 1% a.m = 0,01
n = 20 anos = 20 x 12 = 240 meses
VF = ?
veja mais no link Juros Compostos
Agora é com você
1- Calcular o montante de uma aplicação de R$ 3.500,00, pelas seguintes taxas efetivas e prazos:
a) 4% am e 6 meses b) 8% am e 18 meses c) 12% aa e 24 meses
2- Uma empresa pretende comprar um equipamento de R$ 100.000,00 daqui a 4 anos com o montante de uma aplicação financeira. Calcular o valor da aplicação necessária se os juros efetivos ganhos forem de:
a) 13% am b) 18% aa c) 14% aa d) 12% am
3- Vou aplicar R$ 100.000,00 , a uma taxa de juro composto de 2% a.m..Apos seis meses qual será a quantia a receber somando os juros e o capital investido?
4- Um aparelho DVD Player foi pago em 5 prestações mensais de R$ 383,90 sem entrada. Sabendo-se que a taxa de juros foi de 2% a.m., qual seria o valor pago caso eu tivesse feito a compra à vista?
