I Feira do Conhecimento Escola Estadual Comendador Mário Goulart Santiago -E.E.C.M.G.S - Tema: Medicina Alternativa

28/09/12

Simulado 9 ano - Trigonometria - 28/08/12

GABARITO
Questões	Respostas
1	D
2	C
3	B
4	B
5	A
6	A
7	B
8	B
9	C
10

Respostas: Exercícios Extras - Cap. 4 - Trigonometria - 9ano

Colégio Evolução
Cap.4 - Trigonometria

1. a
2. x = 8
3. c
4. a) 10 degraus
    b) h = 1,92 m

5 a) h = 7,68
   b) x = 4,48 cm

6. c
7. b
8. b
9. x = 50√2 m
10. b
11. b
12. AB = 173 m
13. e
14. d
15. c

Tabela Trigonométrica

Quando falamos de Relações Trigonométricas do Triângulo Retângulo, é impossível não usar seno, cosseno e tangente. Esses dados, porém, não são tão fáceis de ser encontrados e por isso costumam ser agrupados em tabelas que devem ser usadas na resolução dos mais variados exercícios.

Pensando nisso nós resolvemos fazer esse post com uma Tabela de Seno, Cosseno e Tangente Completa. Trata-se de uma relação completa com os valores de seno, cosseno e tangente para todos os ângulos (desde o 1° até o 89°). Separamos também uma pequena tabela com os Ângulos Notáveis (30°, 45° e 60°). Confira

Tabela com os ângulos notáveis

fonte:http://www.essaseoutras.com.br

UMA BREVE HISTÓRIA DE ALGUNS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

O uso dos símbolos em matemática é tema importe na prática docente, pois contribui para o estudo dos conteúdos matemáticos, criando possibilidades de representações das idéias matemáticas pelos alunos. A história da simbologia matemática é um tema “complexo, abrangente, volumoso e, não raro, controverso”. Por esse motivo faremos apenas uma incursão rápida do assunto em questão.

Antes mesmo de inventar a escrita, o homem primitivo já usava sinais gráficos rudimentares para representar números: pedaços de madeira, pedras, ossos ou marfim, alguns com mais de dez mil anos de idade, foram encontrados comprovando que pessoas haviam feito sobre eles agrupamento de riscos com evidente intenção de contagem.

Iremos identificar a história de alguns símbolos que até hoje fazem parte da linguagem matemática, símbolos estes que se tornaram universais. Destacaremos as origens ocidentais da simbologia matemática e mais especificamente os três países: Alemanha, França e Inglaterra.

Na Alemanha, nos séculos XV e XVI, os matemáticos estavam publicando obras aritmético-algébricas e, para tanto, necessitavam empregar algum simbolismo próprio ou de terceiros.

Em 1489, o alemão Johann Widmann publicou uma aritmética comercial onde, pela primeira vez, apareceram os sinais + e -. Alguns especialistas entendem que tais símbolos usados por Widmann serviam apenas para representar excesso ou falta de peso em caixas de certas mercadorias que deveriam ter pesos exatos. Só em 1518, o também alemão Heinrich Shreiber ou Grammateus escreveu um livro onde os dois sinais foram usados na álgebra, mas o grande popularizador desses sinais é Michael Stifel. Há quem diga que + e – derivam das letras p e m minúsculas, escritas cursivamente, mas é possível que o símbolo + seja derivado do “t” da palavra “et”, que significa o conectivo “e” em latim.

Podemos apresentar ainda mais um alemão que deixou sua marca na simbologia matemática, o nome dele é Christoff Rudolff. Rudolff publicou em 1525 o livro “Coss” onde usou para raiz quadrada o sinal que usamos atualmente. Por muito tempo pensou-se que o sinal de Rudolff era derivado da letra R, mas hoje os especialistas não concordam com isso.

Na Inglaterra, no século XVI, podemos destacar um médico, matemático e jurista chamado Robert Record, criador do símbolo de igualdade. Em seu livro The Whetstone of Witte (“A Pedra de Afiar da Inteligência”), Record empregou pela primeira vez o símbolo de igualdade que hoje usamos: dois traços horizontais e paralelos (=). Ele escreveu a seguinte frase, em inglês arcaico, para justificar a razão de sua escolha: “Bicause noe .2. thynges, can be moare equalle” (“porque duas coisas não podem ser mais iguais”)[1]. Outro inglês que se destacou na criação de símbolos matemáticos foi William Oughtred. Em seu livro Clavis Mathematicae, de 1631, aparecem cerca de cento e cinqüenta símbolos, a maioria criada por outros. Dele mesmo sobreviveram o x como sinal da multiplicação e os pontos das proporções (a:b :: c:d). Os símbolos > (maior) e < (menor) foram criados também por um inglês: Thomas Harriot. Na França, podemos apresentar uma importantíssima inovação no simbolismo matemático. François Viète introduziu a utilização sistemática das letras para representar não apenas as incógnitas, mas, também, os coeficientes genéricos de equações. Viète lançou toda essa inovação em seu livro, que tinha como título In artem analyticam isagoge (Introdução à arte analítica), que foi publicado em 1591. Outro Francês que deixou a sua contribuição para a simbologia matemática foi Albert Girard. Em 1629, Girard expressou os índices das raízes por meio de números colocados na abertura em V do sinal da raiz quadrada . Não poderíamos deixar de citar o autor da obra Géométrie, publicada em 1637, que foi um dos livros mais importantes para a consolidação dessa simbologia: René Descartes. Em Géométrie, Descartres escreveu suas equações de uma forma já inteligível para os leitores modernos: - foram usadas letras maiúsculas do alfabeto: as primeiras (a, b, c,...) para as grandezas conhecidas e as últimas (z, y, x,...) para as desconhecidas - as potências acima de dois foram expressas por meio de expoentes - os sinais de soma e subtração já foram os atuais - o símbolo da raiz passou a ter um prolongamento horizontal superior de modo a indicar claramente o que era abrangido. Os matemáticos em geral resolveram seguir o modelo de simbologia algébrica da Géométrie, não apenas por ser muito melhor do que os anteriores, mas, também, por ter sido introduzido em um livro que foi lido com admiração por toda comunidade matemática da época. Outro símbolo que tem uma história extremamente interessante é o π. Embora tenha sido Leonhard Euler quem consagrou a letra π o símbolo da constante geométrica, na edição de 1647 da Clavis Mathematicae, de Oughtred, é que se encontra a origem de tal símbolo. Oughtred apresenta representando a relação entre o perímetro da circunferência e seu diâmetro, já que π é a primeira letra da palavra "perímetro" em grego. Mas só em 1736, a partir de sua adoção por Euler, que o uso do π em seu sentido moderno foi generalizado. No decorrer da evolução do pensamento matemático e, mais especificamente, das idéias relativas às funções, podemos citar Euler como o criador da notação “f(x)” para representar as funções. Com base no que foi mencionado, é possível observar que a simbologia matemática foi criada de uma forma contínua e que não irá parar por aqui, poderá sempre haver criações de novas formas para representar certos conteúdos na linguagem matemática.

[1] Tradução minha.

POR PROFESSOR THIAGO PINHEIRO 

EQUAÇÃO DO 2º GRAU

AULA 1

  Toda equação do segundo grau é do tipo:

 ax² + bx + c = 0   se somente se  a ≠ 0

onde :
a, b e c são chamados de coeficientes numéricos .
x é a variável ou parte literária

Resolução de uma equação do 2º grau

Resolver uma equação é encontrar um valor para a variável de forma que torne a sentença (no caso equação do 2º grau) verdadeira. E mais, uma equação do 2^o grau pode ter:

-2 soluções

-1 solução

-Nenhuma solução

Exemplo:
Vamos verificar se 3 é solução da equação x² - 9 = 0
Para fazer esta verificação basta substituir x na equação por 3, veja:

x² - 9 = 0

para x=3, temos:

3² - 9 = 0

9 - 9 = 0

0 = 0

Portanto 3 é solução da equação x² - 9 = 0

Agora vamos verificar se 4 é solução da equação x² - 25 = 0
para x=4, temos:

4² - 25 = 0
16 - 25 = 0
- 9 = 0 , não verifica, pois -9 ≠ 0
Portanto 4 não é solução da equação x² - 25 = 0

Mas qual será o número que é solução desta equação?
É ai que entra os métodos de resolução da equação do 2º grau que iremos aprender.

1º caso

As equações do exemplo são conhecidas como uma equação do 2º grau incompleta, pois, em ambas  o coeficiente b = 0, neste caso  (ax² + c = 0) 

Então, vamos verificar como ficaria a resolução da equação x² - 25 = 0 .

x² - 25 = 0 
x²  = 25
x =  ±√25
x = ± 5

S = { 5; -5} 
Portanto, 5 ou -5 são soluções da equação x² - 25 = 0 

Exercícios Resolvidos

Resolva as seguintes equações no conjunto dos números reais.

a)  x² + 4 = 0

Resolução:

x² = - 4

x = ±√-4

x = ø → Não possui solução no conjunto dos números reais, pois, não existe solução para raiz quadrada de um número negativo.

S = { ø }  

b) x² = 36

Resolução:

x = ±√36

x = ± 6

S = { 6; -6}  

c) 3x² - 27 = 0

Resolução:

3x² = 27

x² = 27/3

x² = 9

x = ±√9

x = ± 3

S = { 3; -3}  

AGORA É COM VOCÊ

Resolva as seguintes equações no conjunto dos números reais.

a) x² - 16 = 0     S={4,-4}        e) x² = 121     S={11,-11}          i) 2x² - 1250 = 0      

b) x² - 36 = 0     S={6,-6}        f) x² = 400     S={20,-20}          j) 3x² - 75 = 0         

c) x² - 49 = 0     S={7,-7}        g) x² = 100    S={10,-10}          k) 4x² + 16 = 0        

d) x² + 25 = 0    S= { ø }         h) 2x² - 1800 = 0    S={30,-30}  l) -5x² + 25 = 0

AULA 2

2º caso
Podemos ter outro tipo de equação do 2º incompleta, neste caso,  (ax² + bx = 0), com c = 0.
Para resolver este tipo de equação segue o exemplo abaixo.

 x² + 4x = 0  

x(x - 4) = 0 , aqui coloca-se o fator comum x em evidência

neste caso temos um produto de dois termos onde o resultado deve ser zero, então:

x = 0 ou 
x-4 = 0

Para x = 0 , temos x1 = 0
Para x - 4 = 0 , temos x2 = 4

S = {0; 4}
Portanto, para este tipo de equação temos duas soluções x=0 ou x=4

outro exemplo

2x² + 10x = 0

2x(x + 5) = 0

2x = 0

x = 0

x + 5 = 0

x = -5 

S = { 0; -5}

Exercícios Resolvidos

1 - Resolva as seguintes equações no conjunto dos números reais.

a) 2x² + 10x = 0

Resolução:

2x(x + 5) = 0

2x = 0

x = 0

ou

x + 5 = 0

x = - 5 

S = { 0; -5}

b) x² = 3x

Resolução:

x² - 3x = 0

x(x - 3) = 0

x = 0

ou

x - 3 = 0

x = 3 

S = { 0; 3}

2 – A diferença entre o quadrado de um número positivo e o seu quádruplo, nessa ordem, é zero. Determine esse número.

Resolução:

Seja x o número que precisamos determinar. Então:

x² - 4x = 0

x(x – 4)= 0

x= 0 ou x – 4 = 0

Resolvendo a equação x -4 = 0, encontramos x = 4.

Portanto, o número é 4.

AGORA É COM VOCÊ

Resolva as seguintes equações no conjunto dos números reais.

a) x² - 6x = 0     S={0,6}          c) 2x² + 30x = 0          e) 2x² = 4x

b) x² + 13x = 0  S={0,-13}         d) 3x² - 15x = 0          f) x² = - 12x

3º caso

Agora sim, o que nos interessa é quando a equação do 2º grau é completa, neste caso:
ax² + bx + c = 0 

Para calcularmos a raiz utilizaremos a fórmula abaixo: 

*esta fórmula é conhecida como a fórmula de Bhaskara.


Exemplo:

Aplicando a fórmula de Bhaskara, resolva as seguintes equações do 2º grau.

a) 3x² – 7x + 4 = 0

b) 9y² – 12y + 4 = 0

c) 5x² + 3x + 5 = 0

Assista ao vídeo com a resolução do exemplo letra a

- Viu?
- é mamão com açúcar, fácil, fácil...

Assista agora ao vídeo...

Novo telecurso - Equação do 2º grau - Aula 24 ( 1 de 2 )

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Colégio Evolução - Resposta Exercícios Extras 9º ano

Gabarito 1º simulado de Matemática 2ºbimestre CE

Resposta Sessão Extra

Gabarito Prova Bimestral de Matemática CE

gabarito- PB- 1ºB- 6 ano

Gabarito Simulado Colégio Evolução

Gabarito do simulado de matemática do Colégio Evolução realizado no dia 22/03/12

Alunos da rede pública de ensino vão participar da Etapa Nacional do Torneio de Robótica

 

Nos próximos dias 3 e 4 de março, as equipes Blecaute (formada por alunos da rede pública educacional do Estado) e Gnorange (formada por alunos do curso G9), com idade entre 9 e 15 anos, irão representar Itajubá, Pedralva e cidades da região na Etapa Nacional do Torneio de Robótica "First Lego League" (FLL), um dos maiores torneios de robótica do mundo, a ser realizado em São Paulo. Mais quatro equipes das cidades de Santa Rita do Sapucaí e Pouso Alegre também irão participar do evento que vale vaga para etapas internacionais.

Fonte: Jornal Itajubá Notícias